问题
解答题
已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函数，φ（x）=（a-1）f（x）（
（1）判断ϕ（x）的奇偶性，并给出证明； （2）证明：若xf（x）＞0，则ϕ（x）＞0． |
答案
（1）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
又ϕ（x）的定义域为{x∈R|x≠0}2分）
∴ϕ(-x)=(a-1)f(-x)(
+1 a-x-1
)=(a-1)f(-x)(1 2
+ax 1-ax
)1 2
=(a-1)f(-x)(
-1 1-ax
)=(a-1)f(x)(1 2
+1 ax-1
)=ϕ(x)1 2
∴ϕ（x）是偶函数．（6分）
（2）若x＞0，则由已知，f（x）＞0，（7分）
①当a＞1时
+1 ax-1
＞0，a-1＞0∴ϕ（x）＞01 2
②当0＜a＜1时
+1 ax-1
＜0，a-1＜0，∴ϕ（x）＞0，（10分）1 2
又ϕ（x）是偶函数，
∴x＜0，ϕ（x）=ϕ（-x）＞0．（11分）
故当xf（x）＞0时，ϕ（x）＞0．（12分）