（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=-

1

f(x+1)

=f（x），

所以f（x）的周期为2…（2分）

所以f（x）+f（2-x）=0⇒f（x）+f（-x）=0，

所以f（x）为奇函数．…（4分）

（2）任取x∈（0，

1

2

）⇒-x∈（-

1

2

，0）⇒1-x∈（

1

2

，1）．

∴f（x）=-f（-x）=

1

f(1-x)

∴f（x）=

1

31-x

=3x-1．…（8分）

（3）任取x∈（2k+

1

2

，2k+1）⇒x-2k∈（

1

2

，1），

∴f（x）=f（x-2k）=3^x-2k；

∴log₃f（x）＞x2-kx-2k有解

即x²-（k+1）x＜0在x∈（2k+

1

2

，2k+1）上有解（k∈N₊），

所以：（0，k+1）∩（2k+

1

2

，2k+1）≠∅，

故有k+1＞2k+

1

2

，无解．

故不存在这样的正整数．…（12分）