已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的

问题解答题

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-

，1)，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由题意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

，1）

即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

，1

将x=1或-

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．

∴g（x）=x³-x²-x+2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，

∴g'（-1）=4，

∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g'（-1）=4，

∴函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．

（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，

∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得

a≥lnx-

对x∈（0，+∞）上恒成立．

设h（x）=lnx-

，则h′（x）=

2x2

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

（舍）

当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．

∴a≥-2，

∴a的取值范围是[-2，+∞）