已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞c＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若

问题填空题

已知椭圆

=1(a＞b＞c＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为

(a-c)，则椭圆的离心率e的取值范围是______．

答案

∵|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，而|PF₂|的最小值为a-c，

∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

(a-c)，

∴（a-c）²≥4（b-c）²，∴a-c≥2（b-c），

∴a+c≥2b，∴（a+c）²≥4（a²-c²），

化为5c²+2ac-3a²≥0，即5e²+2e-3≥0 ①．

∵b＞c，∴b²＞c²，

∴a²-c²＞c²，∴a²＞2c²，∴e2＜

．②

由①②解得

≤e＜

．

故椭圆离心率的取值范围为[

，

)．

故答案为[

，

)．