已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F₁AB=90°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

=-2

PF2

？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），

则

AF1

=(-c，-b)，

=(a，-b)

∵∠F1AB=90°，∴

AF1

•

=-ac+b2=0，∴b²=ac，

∴c²+ac-a²=0，即(

)2+

-1=0，解得e=

-1

；

（2）显然直线l的斜率存在．

设l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．设P（x₀，y₀），

由

=-2

PF2

，得（x₀，y₀+kc）=-2（c-x₀，-y₀），

得P（2c，kc），代入椭圆方程得，

4c2

k2c2

=1，又b²=ac，

所以4(

)2+k2•

-1=0，

将

-1

代入得，k2=

5-3

＜0，矛盾．

故不存在满足题意的直线l．