问题
解答题
| 对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数． （1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由； （2）若函数g(x)=mx+
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答案
（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f1（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f1（x）是“平底型”函数．
对于函数f2（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f2（x）=2；当x∈（2，+∞）时，
f2（x）=2x-2＞2．
所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
故f2（x）不是“平底型”函数；
（2）由“平底型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+
=c，即x2+2x+n
=c-mxx2+2x+n
所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以
，所以m2=1 -2cm=2 c2=n
或m=1 c=-1 n=1
…（14分）m=-1 c=1 n=1
①当
时，g（x）=x+|x+1|．m=1 c=-1 n=1
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数…（16分）
②当
时，g（x）=-x+|x+1|．m=-1 c=1 n=1
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（12分）
综上分析，m=1，n=1为所求…（18分）