∵函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，∴函数f（x）的对称轴为x=1

∵f(2)=

1

2

，∴f（0）=

1

2

∵f′（x）＜e^x∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]'＜0

令函数g（x）=f（x）-e^x，则函数g（x）在R上单调递减

且g（0）=f（0）-e⁰=

1

2

-1=-

1

2

∵f(x)＜ex-

1

2

∴g（x）=f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0）

∴x＞0

故答案为：（0，+∞）