问题 填空题
已知点P(x,y)为椭圆
x2
4
+y2=1
上一点,F1、F2为椭圆左、右焦点,下列结论中:①△PF1F2面积的最大值为
2
;②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q,则△PF1Q的周长为8;③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q,则恒有
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4
;对定点A(
3
2
1
2
)
,则|
PA
|+|
PF2
|
的取值范围为[4-
7
,4+
7
.其中正确结论的番号是______.
答案

①△PF1F2面积S=

1
2
|F1F2|•|y|=
3
|y|,所以当|y|取最大值时,△PF1F2面积最大,所以点P为椭圆短轴端点时,|y|取最大值,此时y=±1,即△PF1F2面积的最大值S=
3
,故①错误;

②∵P,Q在椭圆上,F1、F2为椭圆左、右焦点

∴△PF1Q的周长为2a+2a=4a,

∵a=2

∴△PF1Q的周长为8,

故②正确;

③斜率存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线方程为:y=k(x-

3

代入椭圆方程

x2
4
+y2=1得:(1+4k2)x2-8
3
k2x+12k2-4=0

x1+x2=

8
3
k2
1+4k2
x1x2=
12k2-4
1+4k2

根据椭圆的第二定义可得:

|PF2|
a2
c
-x1
=
c
a
|QF2|
a2
c
-x2
=
c
a

∴|PF2|=a-ex1,|QF2|=a-ex2

|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=
1
|PF2|
+
1
|QF2|
=
1
a-ex1
 +
1
a-ex2

=

2a-e(x1+x2)
(a-ex1)(a-ex2)
=
2a-e(x1+x2)
a2-ae(x1+x2)+e2x1x2

a=2,e(x1+x2)=

3
2
×
8
3
k2
1+4k2
=
12k2
1+4k2
ae(x1+x2)=
24k2
1+4k2
e2x1x2=
3
4
×
12k2-4
1+4k2
9k2-1
1+4k2

|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4

当斜率不存在时,|PF2|=|QF2|=

1
2
,∴
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4
,故③正确;

④∵定点A(

3
2
1
2
)在椭圆
x2
4
+y2=1
的内部,点P(x,y)为椭圆
x2
4
+y2=1
上一点,

|

PA
|+|
PF2
|=|
PA
|+(2a-|
PF1
|)=2a+(|
PA
|-|
PF1
|)

当且仅当P、A、F1三点共线时,|

PA
|-|
PF1
|取得最小与最大,|
PA
|+|
PF2
|
取得最小与最大.

A(

3
2
1
2
),F1(-
3
,0)

|AF1|=

7

|

PA
|+|
PF2
|的取值范围为[4-
7
,4+
7
]
,故④正确

故答案为:②③④

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