由已知

(a2+b2+c2)+2ab=1 2ab(a2+b2+c2)= 1 4

，

得a²+b²+c²及2ab是方程t²-t+

1

4

=0的两根．

而方程t²-t+

1

4

=0的两根为t₁=t₂=

1

2

，

∴a²+b²+c²=2ab=

1

2

．

解得a=b=±

1

2

，c=0，

于是，题设方程可化为x²-x-1=0①．

由α，β是方程①的两根，

则α+β=1，且

α2-α-1=0② β2-β-1=0③

．

由②得α²=α+1，

从而α³=α•α²=α（α+1）=α²+α=2α+1．

显然β≠0，

将③两边分别除以β，β²．

得

1

β

=β-1，

1

β2

=1-

1

β

=2-β．

而β^-3=β^-1•β-2=（β-1）（2-β）=3β-β²-2=2β-3．

β^-5=β^-2•β^-3=（2-β）（2β-3）=7β-2β²-6=7β-2（β+1）-6=5β-8．

∴2α³+β^-5-β^-1=4（α+β）-5=-1．