显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），

（1）当a=0时，f(x)=-

1

2

x2+lnx，f′(x)=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；

由f'（x）＞0，结合定义域解得0＜x＜1，

∴f（x）的单调递增区间为（0，1）．

（2）将f（x）＜（x+1）lnx化简得(a-

1

2

)x2＜xlnx，∵x∈[1，3]∴有a＜

lnx

x

+

1

2

令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，则g/(x)=

1-lnx

x2

，由g′（x）=0解得x=e．

当1≤x＜e时，g′（x）＞0；当e＜x≤3时，g′（x）＜0

故g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

∴∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于a＜g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

即a的取值范围为(-∞，

1

e

+

1

2

)

（3）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．

在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．

∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

，

当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，

此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；

当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；

②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，

从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-

1

2

≤0⇒a≥-

1

2

，

由此求得a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．

综合①②可知，当a∈[-

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．