问题
解答题
已知函数f(x)=
（Ⅰ）求实数a、b的值； （Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增； （Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件： ①不等式f(x)+
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由． |
答案
（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得1+a+b=
，解得b=4． …（1分）16+4a+b 4
由f(x)=
(x≠0)为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，x2+ax+b x
即
+x2+ax+b x
=2a=0，所以a=0． …（3分）x2-ax+b -x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x+
．4 x
任取x1，x2∈（0，2]，且x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
)-(x2+4 x1
)=(x1-x2)4 x2
，…（5分）x1x2-4 x1x2
∵0＜x1＜x2≤2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
所以，函数f（x）在区间（0，2]单调递减． …（7分）
类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增． …（8分）
（Ⅲ）对于条件①，由（Ⅱ）得函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若f(x)+
＜0对x∈（0，+∞）恒成立，k 2
则需f（x）min＞-
，则4＞-k 2
，k 2
∴k＞-8；
对于条件②，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]上递增，在[-2，0）上递减，
又f（-6）=-
，f（-2）=-4，f（-1）=-5，20 3
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-
，-4]，20 3
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，则需-
≤k≤-4，20 3
若同时满足条件①②，则需
．k＞-8 -
≤ k≤-420 3
所以：-
≤k≤-4．20 3
故当-
≤k≤-4时，条件①②同时满足．20 3