问题
解答题
已知数列{an}中，a1=0，an+1=
（Ⅰ）求证：数列{
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn＜n-ln（n+1）； （Ⅲ）设bn=an（
|
答案
（Ⅰ）因为
=1 an+1-1
=1
-11 2-an
=-1+2-an an-1
，1 an-1
即
-1 an+1-1
=-1.1 an-1
所以数列{
}为等差数列1 an-1
（Ⅱ）由（1）知：
=1 an-1
+（n-1）×（-1）=-n1 a1-1
所以an=1-1 n
设f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），则f′（x）=1-
＞01 x+1
∴f（x）在（0，+∞）为递增函数，且f（x）在[0，+∞]上连续．
∴f（x）＞f（0）=0，∴当x＞0时，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+
）＜1 n
，1-1 n
＜1-ln（1+1 n
）1 n
所以an=1-
＜1-ln（n+1）+lnn1 n
所以Sn＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即Sn＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因为bn=
×（n-1 n
）n，9 10
当
=bn bn+1
×n-1 n
×n+1 n
=10 9
×n2-1 n2
，10 9
当
=bn bn+1
×n2-1 n2
＞1，n＞10 9
，即n≥410
当
=bn bn+1
×n2-1 n2
＜1，n＜10 9
，即n≤3．10
所以b1＜b2＜b3＜b4＞b5＞b6＞
又因为n≥2时，bn＞0，并且b1=0，所以0≤bn≤b4
对任意的正整数n、m，均有|bn-bm|的最大值为
b4-b1=
×（3 4
）4-0=9 10
＜19683 40000
=24000 40000 3 5
所以对任意的正整数n、m，均有|bn-bm|＜3 5