问题
解答题
已知椭圆的两个焦点F1(-
（I）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使
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答案
（I）由题意可得 c=
，tan30°=3
=3 3
，∴b=1，∴a=2，b c
故椭圆的方程为
+x2 4
=1．y2 1
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=8k2 1+4k2
．4k2- 4 1+4k2
∵
•PE
=（m-x1，-y1 ）•（m-x2，-y2）=（m-x1）（m-x2）+y1y2 QE
=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）
=（m2+k2）+（1+k2）
-（m+k2）（4k2- 4 1+4k2
） 8k2 1+4k2
=
恒为定值，(4m2-8m+1)k2+(m2-4) 1+4k2
∴
= 4，4m2-8m+1 m2-4
∴m=
．17 8