问题
解答题
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1(n∈N*)之间插入n个1，构成如下的新数列：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，求这个数列的前2012项的和；
（3）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列（如：在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d1；在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d2，…以此类推），设第n个等差数列的和是An．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得An=g（n）dn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设an=a1qn-1，
由an+1=2Sn+2，知
，a1q=2a1+2 a1q2=2(a1+a1q)+2
解得
，a1=2 q=3
故an=2×3n-1…（6分）
（2）依题意，到an为止，新的数列共有1+2+3+…+n=
项，n(n+1) 2
令
=2012，n(n+1) 2
得n=
≈62.9，-1+ 1+4024×4 2
即到a62为止，新的数列共有1+2+3+4+…+62=
=1953项，62(62+1) 2
故该数列的前2012项的和为：
a1+a2+…+a62+1+2+3+…+61+=
+1950=362+1949．2×(1-362) 1-3
（3）依题意，dn=
=2×3n-2×3n-1 n+1
，4×3n-1 n+1
An=(2×3n+2×3n-1)(n+2) 2
=4（n+2）×3n-1，
要使An=g（n）dn，
则4（n+2）×3n-1=g（n）×
，4×3n-1 n+1
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n2+3n+2，
即存在g（n）=n2+3n+2满足条件．