问题
解答题
.已知方程（a-x）2-4（b-x）（c-x）=0，试说明：
（1）此方程必有实数根；
（2）若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，则△ABC为等边三角形。
答案
证明：（1）整理方程（a-x）2-4（b-x）（c-x）=0，
得3x2-（4b+4c-2a）x+4bc-a2=0，
Δ=（4b+4c-2a）2-12（4bc-a2），
=16b2+16c2+16a2-16ab-16bc-16ac，
=8（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2），
=8[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（a-c）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程必有实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=8[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∵a、b、c为三角形三边长，
∴a=b≠0，b=c≠0，a=c≠0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形。
