问题
解答题
已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b（b∈R），记h(x)=f(x)-
（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明； （Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2）．若f（x1）=g（x2），求实数b的值； （Ⅲ）若2xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（本小题满分14分）
（Ⅰ）函数h(x)=2x-
为奇函数…（2分）1 2x
现证明如下：
∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分）
由h(-x)=2-x-
=1 2-x
-2x=-(2x-1 2x
)=-h(x)…（5分）1 2x
∴函数h(x)=2x-
为奇函数…（6分）1 2x
（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）…（7分）
∵f（x）=2x在区间[1，2]上单调递增，
∴f(x)max=f(2)=22=4，即f（x1）=4…（8分）
又∵g（x）=-x2+2x+b=-（x-1）2+b+1
∴函数y=g（x）的对称轴为x=1
∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减
∴g（x）max=g（1）=1+b，即g（x2）=1+b…（9分）
由f（x1）=g（x2），
得1+b=4，∴b=3…（10分）
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，2x(22x-
)+m(2x-1 22x
)≥01 2x
即m（22x-1）≥-（24x-1），
∵22x-1＞0，∴m≥-（22x+1）…（12分）
令k（x）=-（22x+1），x∈[1，2]
下面求函数k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，∴-（22x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）max=-5…（13分）
故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）