问题
解答题
设函数f(x)=
（Ⅰ）若∀x∈[
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，试求a的取值范围． |
答案
（1）依题得：∀x∈[
，2]，不等式x2+3≥2ax恒成立，则a≤2
+x 2 3 2x
设g(x)=
+x 2
，则a≤g（x）min即可3 2x
又g(x)=
+x 2
≥23 2x
=
•x 2 3 2x
，当且仅当x=3
时，g(x)min=g(3
)=3
．3
∴a的取值范围是(-∞，
]3
（2）二次函数f（x）的图象开口向上，对称轴是直线x=a
依题意得：
①当a=2时，令f（x）=0，得x=1，x=3
∴在[
，2]上f（x）有两个零点，不合题意2
②当a＜2时，要使函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，只需满足
即f(0)＜0 f(4)≥0 a2-1＜0 a2-8a+15≥0
解得-1＜a＜1
当a=-1时满足题意，a=1时不满足题意，则-1≤a＜1
③当a＞2时，要使函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，只需满足
即f(0)≥0 f(4)＜0 a2-1≥0 a2-8a+15＜0
解得3＜a＜5
当a=5时满足题意，a=3时不满足题意，则3＜a≤5
∴a的取值范围是[-1，1）∪（3，5]