问题
解答题
设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案
（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f（x）=g（2-x）=-2ax+4x3；
当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴f(x)=-2ax+4x3，-1≤x≤0 2ax-4x3，0＜x≤1.
（2）由题设知，f'（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2＞0对x∈（0，1]恒成立，
于是，a＞6x2，
从而a＞（6x2）max=6．
（3）因为f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x2=0，
解得x=
．a 6
①若
∈（0，1]，即0＜a≤6，a 6
则[f(x)]max=f(
)=2a× a 6
-4( a 6
)3＜2a× a 6
≤12， a 6
故此时不存在符合题意的a；
②若
＞1，即a＞6，a 6
则f（x）在（0，1]上为增函数，
于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．
综上，存在a=8满足题设．