（1）当a=1时，f（x）=lnx-

1

x

，

∴f′（x）=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

，x＞0．

∵x＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（2）∵f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．

∴g（x）=ax-

a

x

-5lnx，x＞0

∴g′（x）=a+

1

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，

若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，

∴a＞

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

，

∵

5

x+ 1 x

≤

5

2 1

=

5

2

（x=1时等号成立），

∴a＞

5

2

．

（3）当a=2时，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，

h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，

∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，

∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，

g′（x）=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，令g′（x）=0，

解得x₁=

1

2

，x₂=2，

当0＜x＜

1

2

，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；

当

1

2

＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；

∵x₁∈（0，1），

∴g（x）在x=

1

2

处取得极大值，也是最大值，

∴g（x）_max=g（

1

2

）=1-4+5ln2=5ln2-3，

∵h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，

若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，

∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥

11-5ln2

2

，

∵

11-5ln2

2

＞3，故m不存在；

若m＞3时，h_max（x）=h（1）=5-m，

∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，

实数m的取值范围：m≥8-5ln2；