（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．

∴f（x）=e^x-e^-x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．

故a=-1适合题意．

（2）a=0时，y=e^x在区间[0，1]上单调递增，适合题意；

当a≠0时，令t=e^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e^x单调递增，故y=|t+

a

t

|在t∈[1，e]时递增．

当a＞0时，函数y=t+

a

t

在t∈[1，e]时单调递增，得

a

≤1，∴0＜a≤1．

当a＜0时，y=t+

a

t

在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故∀t∈[1，e]，t+

a

t

≥0．

∴-1≤a＜0．

综上可知：-1≤a≤1．

（3）∵f（x）+f^′（x）=ex+

a

ex

+ex-

a

ex

=2e^x，∴φ（x）=（x²-3x+3）e^x，∴

φ ′(x)

φ(x)

=x²-x．

要证明：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

ϕ′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2．

等价于证明：对任意的t＞-2，方程x2-x=

2

3

(t-1)2在区间（-2，t）内有实数解．

令g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2，

则g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，g（t）=

1

3

(t-1)(t+2)．

所以①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）g（t）＜0，

∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且只有一解．

②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=-

2

3

(t-1)2＜0，

∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且由两解．

③当t=1时，有且只有一个解x=0；

当t=4时，有且只有一个解x=3．

综上所述：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

ϕ′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2．

且当t≥4或-2＜≤1时，有唯一的x₀适合题意；

当1＜t＜4时，有两个不同的x₀适合题意．