问题
解答题
已知f(x)=
（1）当a=4时，求F（x）的最小值 （2）当1≤x≤4时，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范围． |
答案
（1）当a=4时，F(x)═
=4(4x+16- x x
+x
)-1≥4•24 x
-1=15∴当4
=x
，即x=4时，F（x）min=15（4分）4 x
（2）F(x)=
=ag(x)-f(x) f(x)
=a(a(x+a)- x x
+x
)-1，x∈[1，4]（6分）a x
设t=
，则F(x)=a(t+x
)-1，t∈[1，2]，令h(t)=a(t+a t
)∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数y=x+a t
的单调性知a x
或
＞2a h(t)min=h(2)＞2
或1≤
≤2a h(t)min=h(
)＞2a 0＜
＜1a h(t)min=h(1)＞2
或a＞4 a(2+
)＞2a 2
或1≤a≤4 2a
＞2a
，解得a＞1（12分）0＜a＜1 a(1+a)＞2