问题 解答题
已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数,且对于任意的a,b∈R有f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(2)=2,求使得
f(2-n)
n
>-
1
8
(n∈N*)
成立的最小正整数n的值.
答案

(1)令a=b=0,则f(0)=0;令a=b=1,则f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0…(3分)

(2)∵f(x)的定义域为R,令a=-1,b=x,则f(-x)=-f(x)+xf(-1),

再令a=-1,b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0⇒f(-1)=0,

故f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数   …(7分)

(3)当ab≠0时,

f(ab)
ab
=
f(a)
a
+
f(b)
b

g(x)=

f(x)
x
,即f(x)=xg(x),则g(ab)=g(a)+g(b)⇒g(an)=ng(a)

故f(an)=ang(an)=nang(a)=nan-1•ag(a)=nan-1f(a)

f(an)
n
=an-1f(a),

f(2-n)
n
=(
1
2
)n-1f(
1
2
),∵f(1)=f(2×
1
2
)=2f(
1
2
)+
1
2
f(2)=2f(
1
2
)+1=0
,∴f(
1
2
)=-
1
2

f(2-n)
n
>-
1
8
(n∈N*)⇔(
1
2
)n-1f(
1
2
)>-
1
8
(
1
2
)n
1
8
n>3

故符合题意的最小正整数n的值为4.   …(12分)

单项选择题
多项选择题