问题
解答题
| 已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）． （1）求f（0），f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （3）若f（2）=2，求使得
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答案
（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数 …（7分）
（3）当ab≠0时，
=f(ab) ab
+f(a) a f(b) b
令g(x)=
，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（an）=ng（a）f(x) x
故f（an）=ang（an）=nang（a）=nan-1•ag（a）=nan-1f（a）⇒
=an-1f(a)，f(an) n
故
=(f(2-n) n
)n-1f(1 2
)，∵f(1)=f(2×1 2
)=2f(1 2
)+1 2
f(2)=2f(1 2
)+1=0，∴f(1 2
)=-1 2
，1 2
由
＞-f(2-n) n
(n∈N*)⇔(1 8
)n-1f(1 2
)＞-1 2
⇔(1 8
)n＜1 2
⇔n＞31 8
故符合题意的最小正整数n的值为4． …（12分）