（1）证：由⊙P_n与x轴都相切，知⊙P_n的半径r_n=y_n=x_n²；又⊙P_n与⊙P_n+1外切，得：|PnPn+1|=rn+rn+1⇒

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1⇒（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1=4x_n²x_n+1²．

由x_n＞x_n+1＞0得：x_n-x_n+1=2x_nx_n+1⇒

1

xn+1

-

1

xn

=2，

故{

1

xn

}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴

约去

π

证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜

3

2

即可

由（1）知（x1）²+（x₂）²+…（x_n）²

=1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）2

因为1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）2

=[1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）^2]+

1

4

[1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²]

即1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²=

3

4

1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）2

又因为 1+[（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+（

1

5

）²+（

1

6

）²+（

1

7

）²]+（

1

8

）²+…

＜1+[（

1

2

）²+（

1

2

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+8（

1

8

）²+…

=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

…=2

即就是1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²＜2

所以 1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

4

×2=

3

2

即1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

2

所以

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

＜

3 π

2

即 Tn＜

3 π

2