已知点A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是

问题解答题

已知点A（1，1）是椭圆

=1(a＞b＞0)上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

答案

（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴

把（1，1）代入得

=1∴b2=

，则椭圆方程为

=1，

∴c2=a2-b2=4-

，∴c=

故两焦点坐标为(

，0)，(-

，0)（4分）

（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），

此时|AB|=2

取椭圆上一点M（-2，0），则|AM|=

.∴|AM|＞|AB|．

从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．（8分）

（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1

联立

y=k(x-1)+1

y2=1

消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0

∵点A（1，1）在椭圆上∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

（10分）

∵直线AC、AD倾斜角互补

∴AD的方程为y=-k（x-1）+1

同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

（11分）

又y_c=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k

所以kCD=

yC-yD

xC-xD

即直线CD的斜率为定值

（13分）