问题
解答题
已知数列an，其前n项和为Sn=
（Ⅰ）求数列an的通项公式，并证明数列an是等差数列； （Ⅱ）如果数列bn满足an=log2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前n项和； （Ⅲ）设cn=
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答案
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=5，（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
[n2-(n-1)2]+3 2
[n-(n-1)]=7 2
(2n-1)+3 2
=3n+2．（2分）7 2
又a1=5满足an=3n+2，（3分）
∴an=3n+2（n∈N*）．（4分）
∵an-an-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N*），
∴数列an是以5为首项，3为公差的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由已知得bn=2an（n∈N*），（6分）
∵
=bn+1 bn
=2an+1-an=23=8（n∈N*），（7分）2an+1 2an
又b1=2a1=32，
∴数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列．（8分）
∴数列bn前n项和为
=32(1-8n) 1-8
(8n-1)．（9分）32 7
（Ⅲ）cn=
=9 (2an-7)(2an-1)
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)（10分）1 2n+1
∴Tn=
[(1 2
-1 1
)+(1 3
-1 3
)++(1 5
-1 2n-1
)]=1 2n+1
(1-1 2
)=1 2n+1
．（11分）n 2n+1
∵Tn+1-Tn=
＞0（n∈N*），1 (2n+3)(2n+1)
∴Tn单调递增．
∴(Tn)min=T1=
．（12分）1 3
∴
＞1 3
，解得k＜19，因为k是正整数，∴kmax=18．（13分）k 57