已知正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2（n∈N*）．（

问题解答题

已知正数列{a_n}中的前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*）．

（1）求a₁，a₂，a₃的值，并求{a_n}的通项公式；

（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；

（3）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

答案

（1）由已知，2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*）①

得：a₁=2，a₂=3，a₃=4，…（2分）

又2S_n+1=a_n+1²+a_n+1-2②

由②-①得；（a_n+1-a_n-1）（a_n+1+a_n）=0，（a_n＞0）

即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．

∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．

∴a_n=n+1． …（4分）

（2）由（Ⅰ）知b_n=（n+1）•2ⁿ它的前n项和为T_n，

T_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ①

2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹②

①-②：-T_n=2•2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹

=4+

22(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1

=-n•2ⁿ⁺¹

∴T_n=n•2ⁿ⁺¹…（8分）…（6分）

（3）∵a_n=n+1，∴c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，

要使c_n+1＞c_n恒成立，

∴c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立

∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，

∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立． …（9分）

（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立

当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，

∴λ＜1．…（11分）

（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立

当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，

∴λ＞-2．…（13分）

即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．

综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，

都有c_n+1＞c_n．…（14分）