设数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an）在直线（3-m）x+2my-m

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m为常数，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b1=a1，bn=

f(bn-1)，(n∈N*，n≥2)，求证：{

}为等差数列，并求b_n；
（3）设数列{c_n}满足c_n=b_n•b_n+2，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

答案

（1）由题设，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0①（1分）

∴(3-m)a1+2ma1-m-3=0⇒a1=

m+3

=1（2分）

由①，n≥2时，（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0②（3分）

①-②得，(3-m)an+2m(an-an-1)=0⇒an=

m+3

an-1，（4分）

∴an=(

m+3

)n-1．（5分）

（2）由（1）知q=

m+3

，b1=a1=1，bn=

f(bn-1)=

2bn-1

bn-1+3

，

化简得：

bn-1

（7分）

∴{

}是以1为首项、

为公差的等差数列，（8分）

∴

=1+(n-1)×

n+2

∴bn=

n+2

．（10分）

（3）由（2）知cn=bn•bn+2=

n+2

•

n+4

＞0，n∈N*．T_n为数列c_n的前n项和，因为c_n＞0，

所以T_n是递增的，Tn≥T1=c1=

．（12分）

所以要满足T_n≥T，（n∈N*），∴T≤T1=

（13分）

所以T的最大值是

（14分）