问题
解答题
已知数列{an}满足a1=1，
（1）求证：数列{
（2）求数列{anan+1}的前n项和Sn； （3）设fn（x）=Snx2n+1，bn=f'n（2），求数列{bn}的前n项和Tn． |
答案
（1）证明：当n≥2时，由
=an-1 an
得：an-1-an-2an-1an=0an-1+1 1-an
两边同除以anan-1得：
-1 an
=2（2分）1 a n-1
∴{
}是以1 an
=1为首项，d=2为公差的等差数列（4分）1 a1
（2）由（1）知：
=1+(n-1)×2=2n-1，1 an
∴an=
（6分）1 2n-1
∴anan+1=
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)Sn=1 2n+1
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 5
-1 2n-1
)]=1 2n+1
（8分）n 2n+1
（3）fn(x)=
•x2n+1，n 2n+1
∴bn=n•22n
Tn=4+2×42+3×43+…+n×4n
4Tn=42+2×43+3×44+…+（n-1）×4n+n×4n+1
相减得：-3Tn=4+42+43+…+4n-n×4n+1=-(3n-1)×4n+1+4 3
∴Tn=
（12分）(3n-1)×4n+1+4 9