问题
解答题
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)设P(1,2),是否存在平行于OP(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OP与l的距离等于
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答案
(1)∵椭圆的右焦点F(1,0),
∴
=1,p=2,p 2
∴抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为2x+b,
由
,得y2-2y+2b=0,y2=4x y=2x+b
∵直线l与抛物线有公共点,
∴△=4-8b≥0,即b≤
,1 2
∵直线OP与l的距离d=
,5 5
∴
=|b| 5
,即b=±1.1 5
从而b=-1.
∴符合题意的直线l存在,其方程为y=2x-1.