问题 解答题
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的右焦点重合.
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)设P(1,2),是否存在平行于OP(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OP与l的距离等于
5
5
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案

(1)∵椭圆的右焦点F(1,0),

p
2
=1,p=2,

∴抛物线C的方程为y2=4x,

其准线方程为x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为2x+b,

y2=4x
y=2x+b
,得y2-2y+2b=0,

∵直线l与抛物线有公共点,

∴△=4-8b≥0,即b

1
2

∵直线OP与l的距离d=

5
5

|b|
5
=
1
5
,即b=±1.

从而b=-1.

∴符合题意的直线l存在,其方程为y=2x-1.

单项选择题
单项选择题