问题
解答题
已知函数f(x)=(a-1)x2+
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性； （Ⅱ）当f（x）为奇函数时，判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． |
答案
（Ⅰ）①当a=1时，f(x)=
-2x，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．2 x
又f(-x)=
-2(-x)=-(2 -x
-2x)=-f(x)2 x
∴f（x）为奇函数
②当a=-1时，f（x）=-2x2，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．
又f（-x）=-2（-x）2=-2x2=f（x）
∴f（x）为偶函数
③当a≠±1时f(2)=
a-5 2
f(-2)=11 2
a-11 2 5 2
又a≠±1
∴f（-2）≠±f（2）
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）为奇函数时，a=1
此时f(x)=
-2x在区间（0，+∞）上是减函数2 x
设任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
f(x1)-f(x2) =2[(
-x1)-(1 x1
-x2)]1 x2 =2[(
)+(x2-x1)]x2-x1 x1x2 =2[(x2-x1)(
)]x1x2+1 x1x2
又x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∴x2-x1＞0，
∴
＞0x1x2+1 x1x2
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．