已知数列{an}有a1a，a2p（常数p＞0），对任意的正整数n，Sna1

问题解答题

已知数列{a_n}有a₁a，a₂p （常数p＞0），对任意的正整数n，S_na₁a₂…a_n，并有S_n满足Sn=

n(an-a1)

．
（1）求a的值；
（2）试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b，且

lim

n→∞

bn=b，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，求数列

an-1

an+1

的“上渐进值”．

答案

（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

，

可得a1=

1×(a1-a1)

=0，∴a=0．

（2）∵Sn=

n(an-a1)

nan

，∴Sn-1=

(n-1) •an-1

．

作差可得 S_n-S_n-1=

nan

(n-1) •an-1

，又S_n-S_n-1=a_n，化简可得

an-1

n-1

n-2

．

∴a_n=k（n-1），故数列{a_n}是等差数列．

显然满足a₁=0，a₂=p=k•（2-1），∴k=p．

∴a_n=p（n-1）=pn-p．

故故数列{a_n}的通项为a_n=p（n-1），是首项为0，公差为p的等差数列．

（3）∵

an-1

an+1

(pn-p)-1

(pn-p)+1

＜1，

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1

=1，

故数列{

an-1

an+1

} 的“上渐进值”为1．