（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f(

1

2

)=0，f（x）的最小值为0，

∴

a 4 + b 2 +1=0 4a-b2 4a =0

，解得a=4，b=-4，

∴f（x）=4x²-4x+1．

∴g(x)=

f(x)+k-1

x

=

4x2-4x+1

x

=4x+

k

x

-4≥2

4x• k x

-4=4

k

-4，

当且仅当4x=

k

x

，即x=

k

2

时，g（x）取最小值4

k

-4．

∵g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是单调函数，

∴

k

2

≤1，或

k

2

≥2，

解得k≤4，或k≥16．

（2）∵g(x)=

f(x)+k-1

x

，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．

当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．

∴g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4＜25在[1，2]恒成立，

∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，

∴k＜25．

∴k的取值范围是（-∞，25）．