问题 解答题
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)的焦点坐标为F1(-2,0),点M(-2,
2
)在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设Q(1,0),过Q点引直线l与椭圆E交于A,B两点,求线段AB中点P的轨迹方程.
答案

(Ⅰ)∵椭圆E:

x2
a2
+
y2
b2
=1(a,b>0)经过M(-2,
2
),一个焦点坐标为F1(-2,0),

a2=8
b2=4
,∴椭圆E的方程为
x2
8
+
y2
4
=1
; …(5分)

(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l与椭圆E的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),相交所得弦的中点P(x,y),

x12
8
+
y12
4
=1①
x22
8
+
y22
4
=1②

①-②得,

(x1+x2)(x1-x2)
8
+
(y1+y2)(y1-y2)
4
=0,

∴弦AB的斜率k=

y1-y2
x1-x2
=-
4
8
x1+x2
y1+y2
=-
x
2y
,(y≠0).,

∵A,B,P,Q四点共线,

∴kAB=kPQ,即-

x
2y
=
y
x-1
,(y≠0,x≠1),

经检验(0,0),(1,0)符合条件,

∴线段AB中点P的轨迹方程是x2+2y2-x=0.…(12分)

单项选择题
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