问题
解答题
已知椭圆E:
(Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设Q(1,0),过Q点引直线l与椭圆E交于A,B两点,求线段AB中点P的轨迹方程. |
答案
(Ⅰ)∵椭圆E:
+x2 a2
=1(a,b>0)经过M(-2,y2 b2
),一个焦点坐标为F1(-2,0),2
∴
,∴椭圆E的方程为a2=8 b2=4
+x2 8
=1; …(5分)y2 4
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l与椭圆E的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),相交所得弦的中点P(x,y),
∴
,
+x12 8
=1①y12 4
+x22 8
=1②y22 4
①-②得,
+(x1+x2)(x1-x2) 8
=0,(y1+y2)(y1-y2) 4
∴弦AB的斜率k=
=-y1-y2 x1-x2 4 8
=-x1+x2 y1+y2
,(y≠0).,x 2y
∵A,B,P,Q四点共线,
∴kAB=kPQ,即-
=x 2y
,(y≠0,x≠1),y x-1
经检验(0,0),(1,0)符合条件,
∴线段AB中点P的轨迹方程是x2+2y2-x=0.…(12分)