（1）由已知，得

1

an+1

=

1

2

+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

 (n∈N*)，

∴数列{

1

an

}是以

1

a1

为首项，

1

2

为公差的等差数列．

1

an

=

1

a1

+(n-1)×

1

2

=

(n-1)a1+2

2a1

，

∴an=

2a1

(n-1)a1+2

…（4分）

又因为a2011=

2a1

2010a1+2

=

1

2011

解得a1=

1

1006

∴an=

2× 1 1006

(n-1)× 1 1006 +2

=

2

n+2011

…（6分）

（2）证明：∵an=

2

n+2011

，

∴bn=4×

n+2011

2

-4023=2n-1-------（7分）

∴cn=

b 2n+1 + b 2n

2bn+1bn

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴c1+c2+…cn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)+…+(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n=1-

1

2n+1

＜1

故c₁+c₂+…+c_n＜n+1…（12分）