等比数列{xn}各项均为正值，yn=2logaxn（a＞0且a≠1，n∈N*），

问题解答题

等比数列{x_n}各项均为正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11

（1）求证：数列{y_n}是等差数列；

（2）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值是多少？

（3）求数列{|y_n|}的前n项和．

答案

（1）∵{x_n}是等比数列，设其公比为q，

xn+1

=q（定值），y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_aq（是定值），

所以数列{y_n}是等差数列． 4'

（2）由（1）知{y_n}是等差数列，y₇=y₄+3d即 11=17+3d

∴d=-2，y_n=17+（n-4）d=25-2n6'

由25-2n≥0得n≤

当n≤12时y_n＞0；当n≥13时，y_n＜0所以数列{y_n}的前12项和最大；

∵y₁=23，

∴最大值S12=12×23+

12×11

(-2)=144； 9′

（3）Sn=23n+

n(n-1)

(-2)=24n-n2设{|y_n|}的前n项和为T_n，

∵当n≤12时y_n＞0；当n≥13时，y_n＜0，

∴当1≤n≤12时 T_n=S_n=24n-n²11′

当n≥13时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₂-a₁₃-…-a_n=S₁₂-（S_n-S₁₂）=2S₁₂-S_n=2×144-24n+n²13′

所以Tn=

24n-n2 (1≤n≤12)

n2-24n+288 (n≥13)

(n∈N*) 14'