问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）满足以下条件：①f（1）=2；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求证：
（1）f（0）=1；
（2）当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）函数f（x）在R上是单调增函数．
答案
证明：（1）令x=0，y=1，则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）=2f（0）=2
∴f（0）=1；
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=1 f(-x)
∴当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
∴
=f(x1) f(x2)
=f[(x1-x2)+x2] f(x2)
=f（x1-x2）＜1f(x1-x2)f(x2) f(x2)
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在R上是单调增函数．