问题
解答题
已知已知函数f(x)=
（Ⅰ）求证：数列{
（Ⅱ）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，试比较2Sn与1的大小． |
答案
（Ⅰ）由已知得，an+1=
，an 2an+1
∴
=1 an+1
+2，即1 an
-1 an+1
=2．1 an
∴数列{
}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）1 an
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=1+(n-1)×2=2n-1，1 an
∴an=
(n∈N*)，（8分）1 2n-1
∴anan+1=
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)，（10分）1 2n+1
∴Sn=a1a2+a2a3++anan+1=
+1 1×3
++1 3×5 1 (2n-1)(2n+1)
=
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)++(1 5
-1 2n-1
)]=1 2n+1
(1-1 2
)=1 2n+1
．（14分）n 2n+1
∴2Sn-1=
-1=2n 2n+1
＜0（n∈N*），∴2Sn＜1．（16分）-1 2n+1