（1）证明：∵a_n+1=

an

c•an+1

∴

1

an+1

=

c•an+1

an

=

1

an

+c

∴数列{

1

an

}是等差数列；

（2）由（1）知数列{

1

an

}是以1为首项，c为公差的等差数列，

∴

1

an

=1+（n-1）c=cn+1-c，

∴a_n=

1

cn+1-c

∴a₂=

1

c+1

，a₅=

1

4c+1

，

因为a₁，a₂，a₅成等比数列，

所以(

1

c+1

)2=

1

4c+1

×1，

解得c=0或c=2．

当c=0时，a₁=a₂=a₅，不符合题意舍去，

故c=2；

（3）证明：由（2）知a_n=

1

2n-1

，b_n=a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)

∴S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+ 

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

故S_n＜

1

2

．