问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）如果对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围； （2）设实数f（x）的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值； （3）对于（2）中的g（a），设H（x）=
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答案
（1）∵函数f（x）=
x3+1 3
x2+（a2-3a）x-2aa-3 2
∴函数f′（x）=x2+（a-3）x+（a2-3a）
则f′（x）-a2=x2+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a2恒成立，
则对任意x∈（1，2]，f′（x）-a2＞0恒成立
则a＜-2．
（2）令f′（x）=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值；
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值；
此时g（a）=2a2+9，当a=0时有最小值9；
③x13+x23+a3=27为定值；
（3）∵g（a）=2a2+9，
∴H（x）=
[g（x）-27]=1 9
（2x2-18），1 9
令F（x）=H（x）-ex=
（2x2-18）-ex，1 9
则F′（x）=
x-ex，4 9
当x∈（0，1）时，F′（x）＜0恒成立
即F（x）在区间（0，1）上为减函数
当m，n∈（0，1）且m≠n时，不妨令m＞n
则F（m）-F（n）=[H（m）-em]-[H（n）-en]＜0
即[H（m）-em]＜[H（n）-en]
即H（m）-H（m）＜em-en，
即|H（m）-H（n）|＜|em-en|