已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+λ•2n（n∈N*，λ为常数），且

问题解答题

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*，λ为常数），且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}满足b_n=

an+3

，证明：b_n≤

．

答案

（1）因为a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*），

所以a2=a1+λ•21=1+2λ，a3=a2+λ•22=1+6λ．

因为a₁，a₂+2，a₃成等差数列，

所以a₁+a₃=2（a₂+2），即2+6λ=2（3+2λ），

解得λ=2．

（2）由（1）得，λ=2，所以an+1=an+2n+1（n∈N^*），

所以an-an-1=2n（n≥2）．

当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2²+2³+…+2ⁿ=1+

22(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ⁺¹-3．

又a₁=1也适合上式，

所以数列（-∞，a]的通项公式为an=2n+1-3（n∈N^*）．

（3）证明：由（2）得，an=2n+1-3，所以bn=

2n+1

．

因为bn+1-bn=

(n+1)2

2n+2

2n+1

-n2+2n+1

2n+2

-(n-1)2+2

2n+2

，

当n≥3时，-（n-1）²+2＜0，所以当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n．

又b1=

＜b2=

＜b3=

，

所以bn≤b3=

（n∈N^*）．