（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，

∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0

又f（-1）=-f（1），

即-a-2b-c=-a+2b-c，

∴b=0

∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．

∵x=1时，f（x）取极小值-

2

5

，

∴3a+c=0且 a+c=-

2

5

．

解得a=

1

5

，c=-

3

5

．

∴f（x）=

1

5

x3-

3

5

x…4

（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．

假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，

则由f′（x）=

3

5

（x²-1）知两点处的切线斜率分别为k₁=

3

5

(

x

21

-1)，k₂=

3

5

(

x

22

-1)，且

9

25

(

x

21

-1)(

x

22

-1)=1             （*）

∵x₁，x₂∈[-1，1]，

∴

x

21

-1≤0，

x

22

-1≤0

∴（

x

21

-1）（

x

22

-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立  …（8分）（文12分）

（Ⅲ）证明：f′（x）=

3

5

（x²-1），令f′（x）=0，得x=±1

∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0

∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f_max（x）=f（-1）=

2

5

，f_min（x）=f（1）=-

2

5

．

∴在[-1，1]上|f（x）|≤

2

5

，于是x₁，x₂∈[-1，1]时，

|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

5

+

2

5

=

4

5

…（12分）