（1）∵a=1，x∈[1，2]

∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1

，x∈[1，2]

，

∴f（x）_min=1≤1，

∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．…（4分）

（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1…（5分）

①若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=-3≤1

满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a=0…（6分）

②若a≠0，则f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，函数的对称轴为直线x=

1

2a

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1

满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a＜0…（7分）

当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数f（x）_min=f（1）=3a-2，

若函数f（x）具有“DK”性质，则3a-2≤1

∴

1

2

＜a≤1…（8分）

当1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，f(x)min=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1

若函数f（x）具有“DK”性质，则2a-

1

4a

-1≤1得

2- 6

4

≤a≤

2+ 6

4

∴

1

4

≤a≤

1

2

…（9分）

当

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1，满足函数f（x）具有“DK”性质，∴0＜a＜

1

4

…（10分）

综上所述，若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，则a的取值范围为（-∞，1]．…（12分）