问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求a，b的值； （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）当x∈[a，a+1]时，求函数f（x）的最大值． |
答案
（1）∵函数f(x)=
为R上奇函数x-a x2+bx+1
∴f（0）=0，即a=0
此时f(x)=x x2+bx+1
且f（-x）=-f（x）恒成立
即
+x x2+bx+1
=0-x x2-bx+1
解得b=0
（2）由（1）得f(x)=
，在（0，1）上为增函数x x2+1
理由如下：
任取（0，1）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，
则f（x1）-f（x2）
=
-x1 x12+1 x2 x22+1
=x1•(x22+1)-x2•(x12+1) (x12+1)•(x22+1)
=
＜0(x1-x2) •(1-x1•x2 ) (x12+1)•(x22+1)
即f（x1）＜f（x2）
故f(x)=
，在（0，1）上为增函数x x2+1
（3）由（1）中a=0
∴当x∈[a，a+1]=[0，1]
由（2）中故f(x)=
，在[0，1]上为增函数x x2+1
可得当x=1时，函数f（x）取最大值1 2