解  （1）∵F(x)=f(x)-a=

1

a

-

1

x

-a…（3分）

∴F(-x)=

1

a

+

1

x

-a

又因为F（-x）为奇函数，

所以 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0…（5分）

解得 a=1或a=-1…（7分）

（2）证明  任取x₁＞x₂＞0，

f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=（

1

x2

-

1

x1

）=

x1-x2

x1x2

   …（10分）

∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（12分）

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）

故f（x）在（0，+∞）上是增函数              …（15分）