问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F1(1,0),离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程及左顶点P的坐标;
(Ⅱ)设过点F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△PAB的面积为
36
13
,求直线AB的方程.
答案

(Ⅰ)由题意可知:c=1,

c
a
=
1
2
,所以a=2,所以b2=a2-c2=3.

所以椭圆C的标准方程为

x2
4
+
y2
3
=1,左顶点P的坐标是(-2,0).…(4分)

(Ⅱ)根据题意可设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

x2
4
+
y2
3
=1
x=my+1
可得:(3m2+4)y2+6my-9=0.

所以△=36m2+36(3m2+4)>0,y1+y2=-

6m
3m2+4
,y1y2=-
9
3m2+4
.…(7分)

所以△PAB的面积S=

1
2
|PF1||y2-y1|=
18
m2+1
3m2+4
.…(10分)

因为△PAB的面积为

36
13
,所以
18
m2+1
3m2+4
=
36
13

令t=

m2+1
,则
t
3t2+1
=
2
13
(t≥1)
,解得t1=
1
6
(舍),t2=2.

所以m=±

3

所以直线AB的方程为x+

3
y-1=0或x-
3
y-1=0.…(13分)

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