（1）∵e=

3

3

，2c=2，

∴a=

3

，b=

3-1

=

2

，

∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．…（2分）

联立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

，消去y得：5x²-6x-3=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

，

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

．…（5分）

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，

即x₁x₂+y₁y₂=0，

由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，

由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1…（7分）

∵x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，

∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，

∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0，

整理得：a²+b²-2a²b²=0．…（9分）

∴b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得

2a²=1+

1

1-e2

，∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)，…（10分）

∵

1

2

≤e≤

2

2

，

∴

1

4

≤e2≤

1

2

，∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，

∴

4

3

≤

1

1-e2

≤2，∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3，

∴

7

6

≤a2≤

3

2

适合条件a²+b²＞1．

由此得

42

6

≤a≤

6

2

，∴

42

3

≤2a≤

6

，

故长轴长的最大值为

6

．…（12分）