问题
解答题
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．
（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．
答案
（I）由f′（x）=-3x2+2ax得x=0或x=
.2a 3
∴
=4得a=6．（3分）2a 3
当x＜0，f′（x）＜0．当0＜x＜4时，f′（x）＞0．
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x3+6x2-1；（6分）
（II）当x∈[0，1]时，
k=f′（x）=-3x2+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x2-2ax-1≤0
对一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需
即a≥1．g(0)=-1≤0 g(1)=2-2a≤0
所以，实数a的取值范围为[1，+∞）．（12分）