（Ⅰ）令x-2=t，则x=t+2．

由于f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），

所以f（t）=a（t+2）²-（a-3）（t+2）+（a-2）

=at²+3（a+1）t+（3a+4）

∴f（x）=ax²+3（a+1）x+（3a+4）

∵y=f（x）的图象关于y轴对称

∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1

故f（x）=-x²+1

（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1

=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1

设存在p（p＜0），使F（x）满足题目要求，

则当-∞＜x₁＜x₂≤-3时，

F（x）是减函数，即F（x₁）-F（x₂）

=（x₁²-x₂²）[2p-1-p（x₁²+x₂²）]＞0

由假设-x₁＞-x₂≥3＞0，∴x₁²＞x₂²＞9

∴2p-1-p（x₁²+x₂²）＞0 ①

又p＜0，x₁²+x₂²＞18∴-p（x₁²+x₂²）＞-18p

∴2p-1-p（x₁²+x₂²）＞2p-1-18p=-16p-1

要使①式恒成立，只须-16p-1≥0即p≤-

1

16

又当-3＜x₁＜x₂＜0时，F（x）是增函数，

即F（x₁）-F（x₂）＜0，也就是2p-1-p（x₁²+x₂²）＜0 ②

此时0＜-x₂＜-x₁＜3．x₁²+x₂²＜18-p（x₁²+x₂²）＜-18p，

2p-1-p（x₁²+x₂²）＜-16p-1

要使②式恒成立，只须-16p-1≤0即p≥-

1

16

故存在p=-

1

16

满足题目要求．

另依题意F（-3）是F（x）的极小值，∴F′（-3）=0．

∵F'（x）=-4px³+2（2p-1）x，∴-4p（-3）³+2（2p-1）（-3）=0，

即p=-

1

16

．当p=-

1

16

时，

F(x)=

1

16

x4-

9

8

x2+1，F′(x)=

1

4

x3-

9

4

x=

1

4

x(x2-9)

∴当x＜-3时，F'（x）＜0，F（x）在（-∞，-3]上是减函数；

当x∈（-3，0）时，F（x）是增函数．

故存在p=-

1

16

满足题目要求．