已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），函数g（x）=㏑x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式．
（1）∵f'（x）=3x2-3=0，∴x=±1
∵f（-2）=-2，f（2）=2，f（1）=-2
∴函数的最小值为f（x）min=-2
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方
∴x3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得 3a＜x2-
在[1，2]上恒成立lnx x
设h（x）=x2-
则 h′(x)=2x-lnx x
=1-lnx x2 2x3+lnx-1 x2
∵2x3-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）min=h（1）=1
∴a＜1 3
（3）因g（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+
)(x-a
)，（ⅰ）当 a
≥1，即a≥1g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1a
（ⅱ）当 0＜
＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，a
]上单调递减，在 [a
，1]单调递增；a
1°当 f(1)=1-3a≤0，即
≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，1 3
]上单调递增，在[a
，1]上单调递减，F(a)=-f(a
)=2aa
；a
2°当 f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜1 3
（ⅰ）当 -f(
)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤a
时，F(a)=f(1)=1-3a1 4
（ⅱ）当 -f(
)＞f(1)=1-3a，即a
＜a＜1 4
时，F(a)=-f(1 3
)=2aa
（1）-2a
∴F（a）=1-3a，0＜a≤ 1 4 2a a
＜a＜11 4 3a-1，a≥1
