设直线2x-y+1=0与椭圆x23+y24=1相交于A、B两点．（1）线段AB中

问题解答题

设直线2x-y+1=0与椭圆

=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB⋅k_OM为定值．试对双曲线

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

答案

（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

2x-y+1=0

⇒

x2+x-

=0⇒

x1+x2=-

x1x2=-

（2分）

所以M(-

，

)

|AB|=

1+22

| x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

（2）设A、B是双曲线

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB⋅k_OM为定值．

证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分别代入双曲线

=1，再相减后可得：

(x1+x2)(x1-x2)-

(y1+y2)(y1-y2)=0

设M（x₀，y₀），则

x1+x2=2x0

y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

即k_AB⋅k_OM=

∴定值为